Prix et risque

Combien gagne-t-on vraiment sur un baril ?

Un petit producteur de pétrole a besoin d'argent tout de suite. Il accepte de vendre son pétrole 7,40 $ moins cher que le marché à qui le paie d'avance. Ça a l'air d'une bonne affaire. Mais combien en reste-t-il, une fois les risques payés ?

Négocie ton baril

Tu es le négociant. Deux choix : combien de temps dure l'accord, et quel prix minimum tu garantis au producteur. Bouge les curseurs et regarde ce qui te reste.

Ce que tu gagnes au départ—

Il peut faire faillite avant de te livrer—

Ton argent est bloqué pendant l'accord—

La garantie de prix minimum—

Il te reste, par baril—

Joue l'année

Les chiffres du ticket sont des moyennes. Dans la vraie vie, il n'y a qu'une seule année. Lance-la et regarde ce qui arrive avec tes réglages.

Appuie sur « Jouer une année ».

La leçon : avec l'accord de base, il ne reste qu'environ 1,36 $ sur 7,40 $ de remise. Sur 3 mois au lieu de 12, il en reste environ 5,89 $. Mieux vaut des accords courts, renouvelés souvent.

Ligne par ligne, en clair

Chiffres de l'accord de base : remise de 7,40 $, 12 mois, garantie à 70 $, 15 % de risque de faillite.

1. Il peut faire faillite avant de te livrer (−2,91 $)

Tu as payé 12 mois de pétrole d'avance. Si le producteur fait faillite au 5^e mois, tu perds le reste. Et le pire, c'est le moment : les petits producteurs font faillite quand le prix du pétrole s'effondre, donc tous en même temps, au pire moment pour toi. Le calcul de ce risque s'appelle la CVA : c'est le prix d'une assurance contre sa faillite.

Pour aller plus loin : le calcul du risque de faillite (CVA, wrong-way risk)

4. Le prix du risque de défaut : CVA

Modèles de taux et produits dérivés : risque de contrepartieStratégie quantitative : marché du crédit

L'exempleLe négociant paie d'avance 12 livraisons mensuelles (environ 960 $ pour 12 barils). Si le producteur fait faillite au mois 5, les 8 barils restants ne viendront jamais. On récupère la moitié de la valeur des réserves mises en garantie, qui dépend du prix ce jour-là. Combien faut-il déduire de la marge pour ce risque ?

C'est la CVA (credit valuation adjustment) : la perte moyenne actualisée en cas de défaut. Je modélise le défaut avec une intensité qui dépend du prix :

λ_t = λ₀ · (S_t / 65,47)^−β

Avec β = 0, le défaut ignore le prix. Plus β est grand, plus le producteur fait défaut quand le prix baisse : c'est le wrong-way risk. Pour chaque β, je recale λ₀ pour que la probabilité de défaut à un an reste 15 %, le seuil de risque utilisé dans la partie 1 : seule la dépendance au prix change. Le calcul utilise un Monte Carlo conditionnel sur 200 000 trajectoires de prix : on calcule la probabilité de défaut de chaque trajectoire au lieu de tirer le défaut au hasard, ce qui réduit l'erreur. Pour β = 0, le résultat coïncide avec la formule analytique (32,61 $).

Probabilité de défaut selon le prix final et CVA par baril selon beta — Gauche : la même probabilité moyenne de 15 % se répartit très différemment selon β. Droite : CVA par baril livré.

La CVA vaut 2,72 $ par baril si le défaut est indépendant du prix, et 2,91 $ avec un fort wrong-way risk : +7 % seulement. Pourtant, avec β = 3, un producteur a 29 % de chances de faire défaut si le prix finit bas, contre 6,5 % s'il finit haut.

Pourquoi si peu ? Pour un seul producteur, l'essentiel de la perte est l'avance en cash, qui ne dépend pas du prix ; seule la garantie en dépend. Le wrong-way risk devient dangereux à l'échelle du portefeuille : quand le prix chute, tous les producteurs du bassin font défaut ensemble, et la perte extrême augmente de 79 % (partie 1, résultat 3). Le danger n'est pas un producteur, c'est la concentration.

2. Ton argent est bloqué (−1,71 $)

L'argent avancé au producteur, tu aurais pu le placer ailleurs. Bloqué en moyenne six mois à 4 % par an, il te coûte 1,71 $ par baril. C'est la ligne la plus simple, mais elle grossit vite quand l'accord s'allonge.

3. Il veut un prix minimum garanti (−1,43 $)

Le producteur te dit : « si le pétrole s'effondre, payez-moi quand même au moins 70 $ ». Tu lui offres une assurance. Si le prix tombe à 60 $, c'est toi qui payes la différence. Cette assurance a un prix, qu'on calcule en simulant des milliers d'avenirs possibles pour le prix du pétrole. Garantir 70 $ sur la moyenne de l'année coûte 1,43 $. Garantir 80 $ chaque mois coûterait 6,32 $ : toute ta marge.

Pour aller plus loin : la garantie de prix comme une option (formule fermée, Monte Carlo)

2. Garantir un prix minimum : une option, valorisée deux fois

Processus stochastiques et produits dérivésIntroduction aux processus de diffusionProbabilités numériques pour la finance

L'exempleLe producteur accepte la décote de 7,40 $, mais il demande une garantie : « même si le baril tombe à 60 $, vous me payez au moins 80 $ ». Le négociant vient de lui offrir une option de vente (un put) de prix d'exercice 80 $. Combien coûte ce cadeau ?

Version mensuelle : formule fermée. Dans le modèle de Schwartz, le logarithme du prix suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck, donc le prix à chaque date est log-normal. Le put a une formule de type Black, mais avec une variance qui plafonne au lieu de croître sans fin :

Var(ln S_T) = σ² (1 − e^−2κT) / (2κ) au lieu de σ² T

La volatilité effective passe ainsi de 50 % à un mois à 35 % à un an : c'est l'effet Samuelson, bien connu sur les marchés de l'énergie. Un plancher à 80 $ sur 12 livraisons mensuelles coûte 6,32 $ par baril. Sans retour à la moyenne, on l'aurait estimé à 8,76 $, soit 38 % trop cher.

Version sur la moyenne annuelle : Monte Carlo. Sur le pétrole, l'option la plus échangée porte sur le prix moyen du mois ou de l'année (average price option). La moyenne de prix log-normaux n'est pas log-normale : il n'y a pas de formule fermée. Je simule donc le vecteur des 12 prix avec sa covariance exacte, et je compare trois estimateurs sur 100 000 scénarios :

Estimateur	Prix ($/b)	Erreur-type	Gain de variance
Monte Carlo simple	4,210	0,0223	×1
Variables antithétiques	4,230	0,0180	×1,5
Variable de contrôle (moyenne géométrique)	4,241	0,0023	×98

L'astuce de la variable de contrôle : le même put sur la moyenne géométrique a une formule exacte, et il est corrélé à 0,995 avec le vrai. On simule les deux et on corrige l'erreur commise sur le premier. On obtient la même précision avec environ 100 fois moins de scénarios. Vérification : le Monte Carlo retrouve le prix de la formule fermée pour la version mensuelle (6,30 ± 0,02 contre 6,32).

Coût du plancher selon le prix garanti, pour trois méthodes — Coût du plancher selon le prix garanti.

Convergence du Monte Carlo simple et avec variable de contrôle — Estimation du plancher sur moyenne, ±2 erreurs-types.

Ce que ça change pour le négociant. Un plancher mensuel à 80 $ coûte 6,32 $, presque toute la décote de 7,40 $. Un plancher sur la moyenne à 70 $ ne coûte que 1,44 $ : c'est la garantie qu'on peut offrir. Limite : les prix sont calculés sous la mesure historique (prime de risque supposée nulle), faute de courbe des futures accessible. La prochaine étape est de calibrer sur cette courbe.

Bon à savoir

Les krachs sont plus fréquents qu'on ne le croit

Les manuels disent qu'une chute du pétrole de plus de 9 % en un jour n'arrive presque jamais. Depuis 2010, il y a eu des journées à −25 %, et pire en avril 2020. Un négociant doit se protéger contre des chutes bien plus fortes que ce qu'on imagine, surtout quand le marché est déjà agité, comme en ce moment.

Pour aller plus loin : modèle à sauts, valeurs extrêmes, test sur 2020-2026

1. Les krachs du pétrole : sauts et valeurs extrêmes

Introduction aux modèles de sautMesures de risque en finance et extrêmes

L'exempleLe 17 avril 2020, le baril de WTI vaut 18,31 $. Le 20, il finit à −36,98 $ : les vendeurs paient pour s'en débarrasser. Le 21, il est à 8,91 $. Six semaines plus tôt, le 9 mars, il avait perdu un quart de sa valeur en une séance. Avec une loi normale et la volatilité observée, de telles journées n'arriveraient pratiquement jamais.

J'utilise les 4 148 rendements journaliers du WTI de 2010 à octobre 2026 (EIA). Les rendements sont logarithmiques ; le jour à prix négatif est retiré, car son logarithme n'existe pas (le rendement du 17 au 21 avril vaut donc −72 %). Je compare trois façons de décrire les grosses pertes :

La loi normale : le cas de référence.
Le modèle à sauts de Merton (1976) : un mouvement continu, plus des sauts qui arrivent au hasard (processus de Poisson). Estimé par maximum de vraisemblance, il trouve environ 21 sauts par an, d'écart-type 7 %. Le test du rapport de vraisemblance rejette massivement la loi normale (statistique 2 217).
La théorie des valeurs extrêmes : on ne modélise que les 5 % pires journées, avec une loi de Pareto généralisée. Son indice de queue ξ vaut 0,38 (IC 95 % bootstrap : 0,19 à 0,57). Un ξ positif signifie une queue épaisse : les catastrophes décroissent lentement.

P(perte > u + y | perte > u) = (1 + ξ y / β)^−1/ξ, ξ = 0,38

Probabilité de perte journalière en échelle logarithmique : la loi normale chute bien plus vite que les données, les valeurs extrêmes suivent les données — Probabilité qu'une journée perde plus que x %, WTI 2010-2026. Échelle logarithmique.

Perte journalière	Normale	Merton	Valeurs extrêmes	Observé
VaR 99 % (1 jour sur 100)	7,0 %	9,3 %	7,4 %	7,1 %
VaR 99,9 % (1 jour sur 1 000)	9,3 %	17,8 %	18,7 %	24,9 %
CVaR 99 % (moyenne des pires 1 %)	8,0 %	—	12,4 %	12,8 %

À 99 %, les modèles se valent. À 99,9 %, la loi normale annonce 9 %, alors que les données montrent 25 % : c'est là que se jouent les faillites de négociants.

Le vrai test : prévoir des crises qu'on n'a pas vues

J'estime chaque modèle sur 2010-2019, puis je compte combien de fois la perte réelle a dépassé la VaR 99 % entre 2020 et 2026. Sur 1 690 jours, on attend environ 17 dépassements.

Modèle (estimé sur 2010-2019)	Dépassements	Attendus	Test de Kupiec (p)
Loi normale, volatilité fixe	69	16,9	< 0,001
Merton (sauts), volatilité fixe	47	16,9	< 0,001
Valeurs extrêmes, volatilité fixe	51	16,9	< 0,001
GARCH(1,1) + loi normale	39	16,9	< 0,001
GARCH(1,1) + valeurs extrêmes	19	16,9	0,61

Les trois premiers modèles échouent pour la même raison : la volatilité du pétrole arrive par vagues (2020, 2022, 2026). Un modèle à volatilité fixe sous-estime le risque pendant chaque vague. La combinaison de McNeil et Frey (2000) règle le problème : un GARCH suit la volatilité du jour, et les valeurs extrêmes décrivent les chocs une fois cette volatilité retirée. C'est le seul modèle qui passe le test.

Rendements journaliers 2020-2026, VaR 99 % GARCH plus valeurs extrêmes, et 19 dépassements — VaR 99 % du jour, calculée avec des paramètres figés sur 2010-2019. Persistance du GARCH : 0,992.

Limite. Les dépassements restent groupés (test d'indépendance de Christoffersen : p = 0,017), surtout en mars 2020 et en avril 2025 : le modèle réagit avec un jour de retard au début d'une crise.

Stocker ou vendre ?

Si le prix est bas, garder son pétrole en cuve en attendant qu'il remonte peut rapporter. À 50 $, attendre vaut environ 7 $ par baril. Mais au prix d'aujourd'hui, 96 $, il faut vendre tout de suite : selon le modèle, le prix a plus de chances de redescendre vers son niveau habituel, autour de 65 $.

Pour aller plus loin : le stockage comme une option américaine (Longstaff-Schwartz)

3. Quand vendre un baril stocké : arrêt optimal

Options américaines : théorie et méthodes numériquesConvexité, optimisation et contrôle stochastique

L'exempleLe négociant reçoit un baril alors que le prix vient de tomber à 50 $. Il peut le vendre tout de suite, ou le garder en cuve (0,45 $ par mois) en pariant que le prix remontera vers 65 $. Chaque mois, il se repose la question. C'est le problème d'une option américaine : quand exercer ?

V(S₀) = sup_τ E[ e^−rτ S_τ − coûts de stockage jusqu'à τ ]

Je le résous de deux façons, qui doivent donner le même résultat :

Longstaff-Schwartz (2001) : on simule 100 000 trajectoires, puis, en remontant le temps, on estime par régression la valeur d'attendre en fonction du prix. On garde la règle obtenue, et on l'évalue sur 100 000 nouvelles trajectoires pour ne pas surestimer la valeur.
Programmation dynamique sur grille : l'équation de Bellman calculée sur 1 500 niveaux de prix, avec une quadrature de Gauss-Hermite. C'est la référence.

Les deux méthodes s'accordent à quelques centimes près, pour tous les prix testés.

Valeur du baril stocké selon le prix, et frontière de vente optimale de 77 dollars à 66 dollars — Gauche : valeur optimale du baril (les points sont Longstaff-Schwartz, la ligne la grille). Droite : on vend dès que le prix dépasse la frontière.

À 50 $, garder le baril vaut 57,44 $ : attendre rapporte 7,44 $. Au prix actuel de 96 $, la règle dit de vendre tout de suite : le prix est au-dessus de la frontière (77 $ le premier mois, qui descend vers 66 $ à l'échéance).

Limite. Toute la valeur d'attendre vient du retour à la moyenne, donc de κ, très mal estimé. À 50 $, elle vaut 0,39 $ si κ = 0,09 et 12,12 $ si κ = 1,77, deux valeurs de son intervalle de confiance. Un négociant prudent ne stocke donc pas sans couvrir avec des futures.

Hypothèses : prix du WTI au 6 octobre 2026 (96,24 $), probabilité de faillite de 15 % par an, plus forte quand le prix baisse, financement à 4 %. La remise de 7,40 $ est une hypothèse : aucune donnée publique ne la mesure. Le code est sur GitHub.